如何证明根号 2 是无理数?什么是有理数

  如何证明根号 2 是无理数?

记得上学的时候忙着考试,把心头的一些为什么都压在了脑后。

面对未知,我们大多数人都选择了默认接受,其实你不懂根号2.

比如:根号2(√2)为什么是无理数,我们有什么办法去计算它。

当我冒出这个想法的时候,其实大部分人的反映都一样1+1开根号就是啊,至于为什么,就是规定呗,当然把根号作为一种符号确实如此,但是离结果还差了很远。

这个问题追根溯源,会发现远比我们想象的要复杂,得追溯到古希腊时期。

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年至公元前500年间)是古希腊的大数学家,他提出“万物皆为数”的观点。公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)突然发现好像有些情况解释不了,比如一个正方形的对角线与其一边的长度,这明显与毕氏学派的“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭,使得学派领导人很惶恐,最后被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。

要去计算根号2的值,我们可以拆分为两个问题。

1)怎么证明根号2是无理数

2)根号2的无理数值是怎么计算出来的?

我们来从求知的角度来证明下根号2(√2)为什么是无理数?

方法1:尾数证明法:

假设根号2是一个有理数,那么根号2就可以使用a/b的形式来标识,其中(a,b)=1.(表示a 与 b 最大的公因数是1),a和b都是正整数,明确了这些条件,我们就开始证明了。

第1步:√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b

第2步:从数的平方我们可以很快得到,b*b的尾数范围是 (0.1.4.5.6.9)中的一个数,不可能是2.3.7.8.这个道理不难理解;

第3步:2*b*b的尾数范围是(0.2.8)中的一个数,

第4步:因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8.只有0

第5步:因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数,那么b*b的尾数范围是(0.5)

第6步:按照目前的尾数可选项,a和b存在公因数5.和(a,b)=1是相矛盾的。

所以根号2是一个无理数。

方法2:

假设√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1.(表示a 与 b 最大的公因数是1.a和b都是正整数

1)根据2*b*b可以推得a是一个偶数,我们可以设置a=2c

2)4*c*c=2*b*b得到 b*b=2*c*c,可以得到b也是偶数

3)a,b都是偶数,这和(a,b)=1相矛盾

所以根号2是一个无理数,可以说明的是希帕索斯就是用这种方法证明的。

还有很多种方法补充,差不多有8种左右,我就不一一罗列了。

如何计算根号2的值呢,查找了不少资料,我觉得这几种方法还是能消化的。

方法1:

(√2+1)(√2-1)=1.这是我们参考的一个基准,可以按照这种方式不断的展开。

√2-1=1/(√2+1)

√2 = 1+ 1/(√2+1),继续带入根号2的对等公式

√2 = 1+ 1/(1+ 1/(√2+1)+1)=1+ 1/(2+ 1/(√2+1))

继续推导:

√2=1+ 1/(2+ 1/(√2+1))=1+ 1/(2+ 1/(1+ 1/(√2+1)+1))=1+ 1/(2+ 1/(2+ 1/(√2+1)))

这种方式叫做连分数法,我们可以通过这种不断的迭代可以得到更加精确的值。

方法2:

我们可以很容易得到根号2的范围,明显是大于1的,所以我们可以按照y=x+1的函数来表示,即

√2 = y=1+x

对上式做平方,得到

2=(1+x)(1+x),得到

2=1+x*x+2*x+1.进一步得到,

x*x+2*x=1.推得,x*(x+2)=1.得到

x=1/(x+2),所以

1/x=2+x=2+1/(2*x)=2+1/(2*1/(x+2))

=2+1/(2*1/(1/(x+2)+2))

按照这种方式可以不断的推导,得到更加精确的值。

计算机如何计算根号2

当然还有很多高大上的方法来进一步辅助,比如牛顿迭代法,二分法等

那么如何在计算机中来计算得到根号2呢, 这里要介绍一个传奇算法:算法名字就是:0x5f375a86.看起来像是一个内存地址一样,该算法据说比牛顿迭代法快4倍,核心的代码类似下面这样:

i = 0x5f375a86 – (i>>1);

至今为止仍未能确切知晓此常数的起源 ,值得一提的是这个值最初为0x5f3759df,后来由Lomont通过暴力穷举找到这个更优值,即0x5f375a86

  什么是有理数

1、什么是有理数?为什么叫做有理数?

课本上说,整数和分数统称有理数。整数描述的物体个数都是整个的,分数描述的物体个数是分开的,不是整个的,从字面意思就很好理解。那有理数的名称是怎么来的呢?整数和分数比较有道理吗?似乎不太合理。

这个词最初源自古希腊,据传是由古希腊著名的数学家、哲学家毕达哥拉斯最早提出的,后来传到了西方,明朝的时候经由传教士传到了中国,徐光启当时把它译为“理”,据说“理”在当时文言文中有“比值”的意思(网上并没有查到有这个意思),后又传到日本,日本学者就把它理解为“道理、理性”,近代中国又直接沿用了日本的译法。不管是中国还是日本出的错,很大的可能是因为这个词的英文是“rational number”,rational一般作“合理的、理性的”来讲,但是它的词根ratio是“比率、比例”的意思。剑桥英英词典中的解释为“a number that can be expressed as the ratio of two whole numbers”,意为可表示为两个整数之比的数。

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